Падение: пересмотр правил
В Dragon № 88 за август 1984 года вышел печально известный цикл статей о физике урона от падения (falling damage). Некоторые поклонники игры считают, что подобное исследование математики и физики фэнтезийной игре не нужно. Я придерживаюсь противоположного мнения: если для такого обыденного действия, как падение, всё равно требуется базовое правило, почему бы не «настроить» его правильно? Тем, кому всё это совершенно безразлично, от этого точно не станет хуже. Поэтому я считаю эти статьи, возможно, вершиной системных исследований D&D в их лучшем виде.
Dragon № 88: Паркер против Уинтера
Вопрос возник из-за книжного правила OD&D и AD&D, согласно которому падение наносит линейные 1к6 урона за каждые 10 футов, а также недавней статьи и поправки в Unearthed Arcana (UA), где Гайгэкс утверждал, что это опечатка: правило должно быть гораздо суровее: первые 10 футов дают 1к6 урона, следующие добавляют уже 2к6, и так далее — например, в сумме 3к6 при падении с 20 футов. Одна из статей в Dragon № 88, «Физика и урон от падения» (Physics and Falling Damage) А. А. Паркера, доказывает, что урон должен быть пропорционален скорости: особенно велик в начале, но на большей высоте нарастает медленнее. Например, падение с 10 футов наносит 3к6 + 1–5 урона, а с 260 футов — 20к6. Другую статью, «Кинетическая энергия — вот ключ» (Kinetic Energy Is the Key), написал Стив Уинтер. Он заключает, что кинетическая энергия, а значит и урон, линейно зависят от высоты, — и тем самым возвращается к исходному правилу 1к6 за 10 футов.
Рассмотрим спор внимательнее, пользуясь преимуществом прошедшего времени. Любопытно — я сам часто об этом забываю, — что Паркер, судя по всему, заранее знал о следующем за его статьёй возражении Уинтера. Он посвящает несколько абзацев и приведённую выше схему аргументу о кинетической энергии, а затем отвергает его — с. 14–15. Однако итоговый довод довольно слаб:
Нет физического закона, согласно которому кинетическая энергия непосредственно причиняет физическую травму. Мы знаем, что между ними есть какая-то связь: чем больше кинетической энергии человек передаёт земле, тем тяжелее его травмы. Но ни один закон не утверждает, что эта связь линейна или что с травмой связаны все факторы кинетической энергии. Поэтому, возможно, какая-то часть кинетической энергии линейно связана с уроном от падения. Поскольку формулы, указывающей эту часть, не существует, определять решающее свойство приходится интуитивно.
В лучшем случае все возражения Паркера здесь в равной мере применимы к его собственной гипотезе, основанной на скорости. Но хуже другое: физический закон, по сути утверждающий именно то, чего, по его словам, недостаёт, существует. Он называется теоремой о работе и кинетической энергии. Википедия формулирует её так: «работа всех сил, действующих на частицу — работа равнодействующей силы, — равна изменению кинетической энергии частицы». Если тело движется с некоторой начальной скоростью и полностью останавливается, работа тормозящей силы по абсолютной величине равна начальной кинетической энергии тела: KE = ½mv², где m — масса тела, а v — скорость. Таким образом, совершённая работа пропорциональна не скорости, как утверждал Паркер, а квадрату скорости и, следовательно, прямо пропорциональна энергии, как утверждал Уинтер.
Данные модели столкновений
Посмотрим на вопрос с другой стороны. Сейчас легко получить доступ к данным, применяемым для моделирования травм и гибели пешеходов в автомобильных авариях — довольно хорошему аналогу столкновения тела с твёрдой землёй на большой скорости. См. Richards, Relationship between Speed and Risk of Fatal Injury: Pedestrians and Car Occupants, Department for Transport, London, 2010. Если сопоставить смертность пешеходов со скоростью автомобилей, получится характерная сигмоидная кривая. Предложено несколько формул для вероятности гибели; самая простая, модель Розена и Сандера, выглядит так: P = 1 / (1 + e^(6,9 − 0,090v)), где v — скорость автомобиля в километрах в час, а P — вероятность гибели, с. 14. Ниже мы проводим линейную регрессию для самой скорости — проверяя теорию Паркера — и для квадрата скорости, пропорционального кинетической энергии, — проверяя теорию Уинтера.
| Скорость, миль/ч | Скорость, км/ч | Скорость², (км/ч)² | Вероятность гибели |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0,0010 |
| 5 | 8 | 64 | 0,0021 |
| 10 | 16 | 256 | 0,0042 |
| 15 | 24 | 576 | 0,0087 |
| 20 | 32 | 1 024 | 0,0176 |
| 25 | 40 | 1 600 | 0,0356 |
| 30 | 48 | 2 304 | 0,0704 |
| 35 | 56 | 3 136 | 0,1347 |
| 40 | 64 | 4 096 | 0,2423 |
| 45 | 72 | 5 184 | 0,3965 |
| 50 | 80 | 6 400 | 0,5744 |
| 55 | 88 | 7 744 | 0,7350 |
| 60 | 96 | 9 216 | 0,8507 |
| 65 | 104 | 10 816 | 0,9213 |
| 70 | 112 | 12 544 | 0,9601 |
Если считать вероятность гибели пропорциональной повреждению тела, визуально совершенно очевидно, что лучше соответствует данным квадрат скорости, то есть кинетическая энергия. Коэффициент детерминации этой аппроксимации равен R² = 0,977: кинетическая энергия объясняет 97,7% изменений смертности, предполагаемых моделью.
Любопытно, что отрасль реконструкции автомобильных столкновений использует для оценки скорости по наблюдаемым повреждениям математическую модель CRASH — Computer Reconstruction of Automobile Speeds on the Highway. Её первое явное допущение состоит в том, что глубина деформации линейно зависит от скорости — или импульса. Однако по меньшей мере один докладчик признаёт, что это лишь приближённая модель. См. McHenry, The Algorithms of CRASH, McHenry Software, 2001, с. 19–20:
Совокупность допущений о том, что а) ΔV_c — то есть ΔV до восстановления формы — линейно зависит от остаточной деформации и б) пересечение оси ΔV_c находится примерно у 5 миль/ч, когда остаточные повреждения отсутствуют, служила основой для экстраполяции за пределы доступных экспериментальных данных… Использование линейных зависимостей можно рассматривать как простой эмпирический способ интерполяции и экстраполяции результатов постановочных столкновений… Похоже, что при включении в подобранные данные широкого диапазона ΔV более точные результаты применения могут дать билинейные аппроксимации.
Предельная скорость
Во многих редакциях D&D — начиная с PHB для AD&D, с. 105 — урон от падения ограничен 20к6. Часто это считают моделированием предельной скорости падающего человека, в том числе в статьях Паркера и Уинтера. Но возникает проблема: согласно основному правилу предел достигается после падения с 200 футов, тогда как в действительности предельная скорость человека достигается намного позже. Сравните также с переработанными правилами падения Карла Сарджента в PC2 Top Ballista 1989 года, с. 61. Он явно опирался на реальные зависимости скорости от пройденной при падении дистанции и сильно уменьшил урон, чтобы максимум 20к6 достигался при настоящей предельной скорости.
Предельная скорость человека, устойчиво падающего животом вниз, составляет около 120 миль/ч, или примерно 180 футов в секунду — см. Википедию. Из-за асимптотического соотношения силы тяжести и сопротивления воздуха человек достигает лишь 50% этой скорости примерно за 3 секунды — около 140 футов, — 90% за 8 секунд — 800 футов, — 99% за 15 секунд — свыше 1 500 футов — и так далее. В теоретическом смысле предельная скорость никогда не достигается: это лишь предел. См. превосходный график Green Harbor Publications, 2010. На мой взгляд, точка перегиба находится примерно у 6 секунд, или 500 футов падения, когда скорость достигает около 80% предельной. В терминах основной D&D это говорит в пользу максимального урона от падения примерно в 50к6.
Посчитаем точнее. Ради простоты введём новую единицу энергии — человеко-футовую силу (footman force), равную одному человеку × фут²/с²; сравните с фут-фунтом силы. Сначала вычислим скорость после падения с 10 футов, полагая, что на такой короткой дистанции сопротивлением воздуха можно пренебречь: √10 / 4 × 32 = 25 футов/с. Теперь можно вычислить кинетическую энергию: KE = ½mv² = ½ × (1 человек) × (25 футов/с)² = 312 человеко-футовых сил. На другом конце шкалы, где сопротивление воздуха проявляется полностью, предельная скорость падения составляет около 180 футов/с. В этом случае KE = ½ × (1 человек) × (180 футов/с)² = 16 200 человеко-футовых сил. Отношение энергий равно 16 200 / 312 = 51,9: падение с предельной скоростью несёт почти ровно в 50 раз больше энергии — и, как мы утверждаем, урона, — чем падение с 10 футов.
Эти вычисления немного упрощены предположением, что масса m падающего тела равна просто «одному человеку». Важно заметить, что маленькие существа при падении создают меньше энергии — и урона, — а большие больше. Википедия цитирует биолога Дж. Б. С. Холдейна:
Для мыши и любого меньшего животного [гравитация] практически не представляет опасности. Мышь можно сбросить в шахту глубиной тысячу ярдов; достигнув дна, она испытает лёгкое потрясение и уйдёт. Крыса погибнет, человек разобьётся, лошадь расплещется. Всё потому, что сопротивление воздуха движению пропорционально площади поверхности движущегося объекта.
Тем не менее пока мы проигнорируем эту подробность и рассмотрим правило только для существ примерно человеческого размера.
Смертность при падении
Реальная статистика смертности при падении выражается через «медианную смертельную дистанцию» (median lethal distance, LD50) — высоту, падение с которой убивает 50% пострадавших, предположительно обычных взрослых. Smith, Trauma Anesthesia, с. 3, утверждает, что LD50 составляет около 50 футов, или примерно четыре этажа. Википедия приводит похожую высоту LD50 для детей — 40–50 футов. Можно было бы ожидать, что дети менее выносливы, чем взрослые, но вспомните приведённое выше наблюдение о связи размера и массы с уроном. Dickinson и др. в статье Falls From Height: Injury and Mortality, Journal of the Royal Army Medical Corps, 2012 (у Delta указан 2013 год), отмечают, что LD50 сильно зависит от характера травмы: около 10,5 м — 34 футов — для приземлившихся на голову или грудь и около 22,4 м — 73 футов — для остальных. На мой взгляд, это говорит в пользу бинарного спасброска при падении — возможно, спасброска от окаменения (save vs. stone) для половины урона. Вспомним, что самое первое правило падения в третьем томе OD&D действительно давало спасбросок, хотя и по другой механике.
Итак, падение примерно с 50 футов убивает около половины людей. На самом деле это намного щедрее стандартного правила D&D: в простейшем виде оно убивает примерно половину обычных людей уже падением с 10 футов — 1к6 урона против 1к6 хитов (hit points). Это в целом противоречит совету Гайгэкса в третьем томе OD&D, с. 6: «Нет никаких сомнений, что персонаж игрока может запросто погибнуть, упав в яму глубиной тридцать футов». И это не говоря об убеждении Гайгэкса времён UA, что такой урон следует радикально увеличить накопительным правилом.
Рассмотренные изменения правил
Рассмотрим несколько изменений, основанных на приведённых выше данных о смертности:
- Спасбросок от смерти (save vs. death) при нуле хитов. Это домашнее правило OED используется уже некоторое время; недавно я изменил его так, чтобы весь «избыточный» урон становился штрафом к спасброску. При желании считайте это приблизительным аналогом разрешения отрицательных хитов перед смертью.
- Спасбросок от окаменения, при успехе — половина урона. Идею подсказали медицинские данные о бинарном различии в смертности в зависимости от того, ударился ли пострадавший головой или грудью. Точнее, LD50 меняется почти ровно на 50%.
- Возможно, уменьшить кости урона примерно до 1к6 за каждые 20 футов.
При рассмотрении таких изменений нужно следить за общим эффектом и на низких, и на высоких уровнях. Я выполнил симуляцию на Java для падения с 50 футов при каждом предложенном изменении и для персонажей разных уровней — по 10 000 испытаний в каждом случае. Результаты приведены ниже; выделены показатели около 50% смертности.
Высота 50 футов; 1 кость за 10 футов
| Уровень | Без спасбросков | Спасбросок от смерти | Спасбросок на половину урона | Оба спасброска |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100% | 98% | 98% | 88% |
| 2 | 96% | 87% | 80% | 69% |
| 3 | 77% | 63% | 56% | 45% |
| 4 | 49% | 34% | 29% | 19% |
| 5 | 27% | 17% | 15% | 10% |
| 6 | 13% | 8% | 7% | 5% |
| 7 | 6% | 3% | 3% | 1% |
| 8 | 2% | 1% | 1% | 1% |
| 9 | 1% | 1% | 0% | 0% |
Высота 50 футов; 1 кость за 20 футов
| Уровень | Без спасбросков | Спасбросок от смерти | Спасбросок на половину урона | Оба спасброска |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 83% | 60% | 68% | 46% |
| 2 | 36% | 23% | 25% | 16% |
| 3 | 11% | 7% | 8% | 5% |
| 4 | 3% | 2% | 1% | 1% |
| 5 | 1% | 0% | 0% | 0% |
| 6 | 0% | 0% | 0% | 0% |
| 7 | 0% | 0% | 0% | 0% |
| 8 | 0% | 0% | 0% | 0% |
| 9 | 0% | 0% | 0% | 0% |
С одной стороны, основное правило D&D нереалистично сурово: персонажи 1-го уровня — и обычные люди — погибают после падения с 50 футов в 100% случаев. Если применить любое одно из смягчающих правил, примерно 50-процентная смертность получается у персонажей 3-го уровня — как показано в первой таблице.
С другой стороны, если настроить систему так, чтобы у персонажей 1-го уровня была реальная 50-процентная смертность, придётся применить все предложенные изменения: уменьшенный базовый урон, спасбросок для половины урона и спасбросок от смерти при нуле хитов — как показано во второй таблице. Тогда у персонажей любого более высокого уровня вероятность погибнуть при падении с такой высоты станет практически ничтожной — ниже по тому же столбцу.
Рассмотрим пример из палп-литературы. В рассказе «Алая цитадель» (The Scarlet Citadel) Говард описывает, как Конан хватает зловещего и могущественного принца Арпелло и сбрасывает его со 150-футовой башни. После этого «тело стремительно полетело вниз, разбилось о мраморную мостовую, разбрызгивая кровь и мозги, и осталось лежать раздавленным в расколотых доспехах, словно изувеченный жук» — гл. 4. Предположим, достойный противник был Лордом (Lord) 9-го уровня: он описан как умелый Воин (fighter) и ветеран множества походов. Проведём симуляцию заново для большей высоты. При последнем, максимально смягчённом варианте вероятность гибели составит всего 2% — явно неприемлемо. Если сохранить правило 1к6 за 10 футов, но разрешить оба спасброска, вероятность смерти составит 35%; только со спасброском для половины урона — 43%. На мой взгляд, оба варианта всё ещё слишком мягкие. Только с уже используемым в OED спасброском от смерти смертность составит 72%, что кажется подходящим; вообще без спасбросков — 85%.
Выводы
Подведём итог. Чтобы обычные люди имели реальную LD50 при падении с 50 футов, требуется настолько щедрое правило, что оно полностью противоречит интуиции и литературным примерам падения высокоуровневых персонажей с поистине головокружительных высот. Лучшее, что мы можем сделать, — подобрать нечто приемлемое посередине. Оказывается, классический урон 1к6 за 10 футов с единственным спасброском какого-либо рода — например, используемым в OED спасброском от смерти или разрешением некоторого числа отрицательных хитов — даёт отдалённо разумный результат примерно на 3-м уровне. А поскольку для этого практически не нужно менять наши текущие правила, такой вариант кажется одним из лучших.
Похоже, повторяется общая тема: многие части системы D&D наиболее «реалистично настроены» для персонажей примерно 3-го уровня. Возможно, это ещё один довод начинать кампании приблизительно с него — как делал Гайгэкс в поздние годы; см. ветку вопросов и ответов на ENWorld от 19 ноября 2004 года. См. также: «Правило трёх: урон от окружающей среды». Меня устраивает, что применяемый в OED спасбросок от смерти при нуле хитов отражает различие между приземлением на голову или грудь и другими вариантами. И теперь я, пожалуй, вынужден увеличить максимальный урон от падения до 50к6, чтобы отразить настоящую предельную скорость. Заодно аккуратно отпадает нужда в дополнительных спасбросках от массивного урона (save vs. massive damage) и тому подобном: при падении с произвольно большой высоты одинаково расплющит любого, хоть младшего бога.
Открытый вопрос: какие ещё примеры падений, пережитых Конаном, Фафхрдом, Элриком и подобными героями, встречаются в палп-литературе? Возможно, при необходимости они помогут точнее «настроить» правило.
Дополнение 2021 года: что касается спора Паркера — скорость — и Уинтера — энергия — 1984 года о том, какая величина линейно связана с уроном, посмотрите в точности тот же вопрос, заданный в 2014 году на Physics Stack Exchange. На данный момент там нет ни ясного решения, ни выбранного ответа. (!)
Если вам понравилась эта статья или у вас есть комментарии, присоединяйтесь к дискуссии в канале Telegram или сервере в Discord.